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一堆N个牌，玩家每家可以一次抽取1, 2, 4, 8,..., 即2^k张，直到无法抽取为止，无法抽取的一方输掉游戏。本文通过分析得出当N是3的倍数时，处于必败态。接着通过递归定义和数学证明了这一结论。

首先，终止状态N=0为必败态。当前局面为必败态时，任何可能的操作都会导致转移到必胜态。必胜态可以通过选择适当的操作将对手送入必败态。

详细证明：

测试与实现：

• 编写了一个SG函数版本的动态规划和递归实现，其中动态规划记忆化数组用于存储结果，递归函数用于验证每种可能的局面。
• 对于give函数，预计算了所有N=1到1005的情况，结果存储在数组中。
• 对于DFS版本，使用记忆化数组和深度优先搜索进行验证，得到一致的结论。

结论：

通过分析和测试，得出当N为3倍数时该局面必败，其他情况下必然存在合法的操作将对手送入必败态。当N=3m时，无论选择抽取多少张牌，对手总能调整策略使对方无法继续。因此，游戏规则的关键在于是否能将局面转换为3的倍数。

[代码部分见附件]

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